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Lösungen Kapitel 3

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Aufgabe 3.1:

(Siehe 1.1.) Die Körpermasse skaliert mit der Größe L zur dritten Potenz, die Oberfläche mit der zweiten Potenz. Daher gilt für die Wärmeerzeugung im Körper LaTeX: \frac{\Delta Q_P}{\Delta t}=a  L^3= \alpha M und für den Wärmeverlust LaTeX: \frac{\Delta Q_V}{\Delta t}=b L^2= \beta M^{\frac{2}{3}} . Im Gleichgewicht sind beide Größen gleich. Daher gilt LaTeX: \beta M^{\frac{2}{3}}= \alpha M. Der Wärmeverlust pro Fläche ist für alle Tierarten gleich, da sie ähnliche Körpertemperaturen haben. Deswegen können wir die gesuchte Abhängigkeit des spezifischen Grundumsatzes berechnen: LaTeX: \alpha = \beta M^{-\frac{1}{3}}; wir erwarten also für den gesamten Grundumsatz ein Skalengesetz LaTeX: \frac{\Delta Q_P}{\Delta t}\propto M^{\frac{2}{3}}.

Anmerkung: Experimentell wird ein größerer Exponent gefunden. Dies liegt daran, dass sich die Proportionen der Tiere mit der Größe ändern. Daher gilt die angenommene Skalierung des Wärmeverlusts mit der Masse nur in grober Näherung.


Aufgabe 3.2:

LaTeX: dU=\delta Q+\delta A= TdS + \delta A

LaTeX: dG=d(U-TS+pV)=TdS+\delta A-TdS-SdT+pdV-Vdp

Die am System geleistete mechanische Arbeit wird aufgeteilt in die Volumenarbeit und in den Rest LaTeX: \delta \omega^*: LaTeX: \delta A =-pdV+\delta \omega ^* Somit ergibt sich:

LaTeX: dG=\delta \omega ^*-SdT-Vdp

Isotherm und isobar gilt: LaTeX: dG=\delta \omega^*

Aufgabe 3.3:

Das Problem kann entlang jeder Raumrichtung als Teilchen in einem unendlich tiefen Potentialkasten beschrieben werden. Die Eigenzustände hierzu sind stehende Wellen mit Knoten an den Wänden.

\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.80\textwidth]{03_3.png} \end{figure}

Sei die Breite des Kastens a, so gilt LaTeX: n \frac{\lambda}{2}=a wobei LaTeX: \lambda die Wellenlänge der stehenden Welle und n die Quantenzahl des Zustands ist. Dies führt zu den erlaubten Wellenvektoren der stehenden Welle von LaTeX: k_n=\frac{\pi}{a}n. Die dazugehörigen Energien sind gegeben durch LaTeX: E_n=\frac{\hbar^2k_n^2}{2m}, wobei hier LaTeX: \hbar=\frac{h}{2\pi} mit dem Plankschen Wirkungsquantum h gilt und m die Masse eines Atoms symbolisiert. Aus der Forderung, dass die Energie des Quantenzustands der mittleren thermischen Energie entsprechen soll, ergibt sich folgende Gleichung LaTeX: \frac{k_BT}{2}=\frac{h^2n^2}{8ma^2}. Diese kann trivial nach n aufgelöst werden. Einsetzen der Naturkonstanten sowie des Molekulargewichts von Argon (39,95 g/mol) liefert LaTeX: n=5 \cdot 10^8.


Aufgabe 3.4:

Hier müssen wir vom dreidimensionalen Fall ausgehen, um die Zustandsdichte der Einatomzustände zu berechnen. Die Zustände mit Energie kleiner LaTeX: E_0 liegen im Impulsraum innerhalb einer Kugel mit Radius LaTeX: k_0.

LaTeX: E_0=\frac{\hbar^2 k_0^2 }{2m} -> ||\vec{k_0}||=\sqrt{\frac{2mE_0}{\hbar^2}}

Wieder müssen die Eigenzustände ebene Wellen sein mit Knoten an der Wand des Kubus. Dies ergibt LaTeX: \vec{k}=\frac{\pi}{a} \begin{pmatrix} l \\m \\n \end{pmatrix} mit beliebigen ganzen Zahlen l, m und n. Keine der Zahlen darf 0 sein, aber dieser eine ausgeschlossene Zustand spielt hier keinerlei Rolle. Ein Volumen von LaTeX: (\frac{\pi}{a})^3 im Impulsraum enthält also genau einen erlaubten Zustand. Somit kann die Zahl N0 der Zustände mit Energie kleiner LaTeX: E_0 angegeben werden zu:

LaTeX: N_0=\frac{4\pi}{3}k_0^3\frac{a^3}{\pi^3}=\frac{4\pi}{3}(2mE_0)^{\frac{3}{2}}(2\frac{a}{h})^3

Die Dichte der Zustände bei LaTeX: E_0, g(LaTeX: E_0), ist gegeben durch LaTeX: g(E_0)=\frac{\partial N_0}{\partial E_0}. Am Ende ergibt sich LaTeX: g(E_0)=2\pi (2m)^{\frac{3}{2}}E_0^{\frac{1}{2}}(2\frac{a}{h})^3


Einsetzen der Energie von LaTeX: \frac{3}{2} k_BT (mittlere thermische Energie eines Atoms in drei Dimensionen) und der Molekularmasse von Argon (39.95 g/mol), sowie der notwendigen Naturkonstanten liefert eine Zustandsdichte von LaTeX: 6.6 \cdot 10^{47} \frac{1}{J}. Einem Temperaturintervall von LaTeX: \Delta T=1 \mu K entspricht ein Energieintervall von LaTeX: k_B T. Die Zahl der Zustände ist einfach gegeben durch die Breite des Energieintervalls mal der Zustandsdichte. Einsetzen der entsprechenden Zahlen liefert LaTeX: 9,1 \cdot 10^{18} Zustände für ein einzelnes Argonatom in diesem sehr kleinen Temperaturintervall. Der 1 cm3 enthält bei Atmosphärendruck LaTeX: 2,7 \cdot 10^{19} Atome. Zur Berechnung der Zustandszahl des Gesamtsystems in diesem Temperaturintervall müssten wir die Zahl der Zustände des einzelnen Atoms mit der Zahl der Atome potenzieren. Da die Zahl der Zustände schon sehr viel größer ist als die Zahl der Atome, können wir Mehrfachzählungen vernachlässigen. Es ergibt sich für den dekadischen Logarithmus der Zahl der Zustände des Gesamtsystems LaTeX: 5\cdot 10^{20}. Die Anzahl der Zustände des Gesamtsystems ist also gegeben durch eine Zahl mit LaTeX: 5\cdot 10^{20} Nullen.

Aufgabe 3.5:

Für diesen Beweis benutzen wir am Einfachsten die quasiklassische Näherung

LaTeX: Z = \int {\frac{{\exp ( { - \frac{{H(p,q)}}{{{k_B}T}}} )}}{{N!{h^{3N}}}}{d^{3N}}p} {d^{3N}}q


Der Erwartungswert von LaTeX: ax_n^2 ergibt sich zu

LaTeX: \left\langle {a{x_n}^2} \right\rangle  = \frac{{\int {a{x_n}^2\frac{{\exp \left( { - \frac{{H(p,q)}}{{{k_B}T}}} \right)}}{{N!{h^{3N}}}}{d^{3N}}p} {d^{3N}}q}}{{\int {\frac{{\exp \left( { - \frac{{H(p,q)}}{{{k_B}T}}} \right)}}{{N!{h^{3N}}}}{d^{3N}}p} {d^{3N}}q}}

wegen der Beziehung LaTeX: H({x_1},{x_2},.....,{x_{n - 1}},{x_n}) = {H_1}({x_1},{x_2},.....,{x_{n - 1}}) + a{x_n}^2 zerfallen beide Integrale in Produkte aus jeweils einem Term der von xn unabhängig ist und einem der nur von xn abhängt. Die von xn unabhängigen Faktoren in Zähler und Nenner sind identisch, sodass sich ergibt:

LaTeX: \left\langle {a{x_n}^2} \right\rangle  = \frac{{\int {a{x_n}^2\exp \left( { - \frac{{a{x_n}^2}}{{{k_B}T}}} \right)} d{x_n}}}{{\int {\exp \left( { - \frac{{a{x_n}^2}}{{{k_B}T}}} \right)} d{x_n}}}

Dies sind einfache Gaussche Integrale, aus denen sich sofort das Ergebnis LaTeX: \left\langle {a{x_n}^2} \right\rangle  = \frac{{{k_B}T}}{2} ergibt.

Aufgabe 3.6:

Thermische Wellenlängen von LaTeX: N_2 (m_{N_2}=28u), O_2 (m_{O_2}=32u), Ar (m_{Ar}=40u) bei T=273 K

LaTeX: \lambda_th=\frac{h}{\sqrt{2\pi mk_BT}}

LaTeX: \longrightarrow \mu_chem=k_BT\cdot ln(\frac{N}{V}\lambda_th^3)

LaTeX: F=-k_bTln(Z)=-k_BT\cdot ln(\frac{1}{Nh^{3N}}[(2\pi m k_BT)^{\frac{3}{2}}(V-Nb')e^{\frac{Na'}{Vk_BT}}]^N)

Isothermen (bei LaTeX: T=const, V_0 > V_1, N=const)



Aufgabe 3.7:

Ausgehend von dem VdW Gesetz:

LaTeX: p=\frac{k_BT}{(n^{-1}-b')}-a'n^2

Werte:

Argon: a'=1.36 LaTeX: \frac{atm l^2}{mol^2}, b'=0.0322 LaTeX: \frac{l}{mol}

Wasser: a'=5.54 LaTeX: \frac{atm l^2}{mol^2}, b'=0.0305 LaTeX: \frac{l}{mol}

Isothermen bei hohen T und kleinen n ähnlich dem idealen Gas.


Aufgabe 3.8:

Einsetzen der Werte in Gleichung (3.43) liefert den gesuchten Druckunterschied von 415 kPa. Dies entspricht ungefähr dem vierfachen Atmosphärendruck! Gleichung (3.17) für den Laplacedruck liefert die gesuchte mechanische Oberflächenspannung von 0.62 LaTeX: \frac{N}{m}. Größere mechanische Oberflächenspannungen führen zu sofortigem Zerplatzen der Membran.