Lösungen Kapitel 7

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Aufgabe 7.1:

(Programmieren)

Aufgabe 7.2:

\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.80\textwidth]{07_2.png} \end{figure}

Aus dieser Grafik können wir für das geringe Molekulargewicht ablesen TU=59 $LaTeX: ^o$ C und $LaTeX: {\left. {\frac{{d\Theta }}{{dT}}} \right|_{T = {T_U}}} = 0.011\frac{1}{K}$ , sowie für das hohe Molekulargewicht TU=28.7 $LaTeX: ^o$ C und $LaTeX: {\left. {\frac{{d\Theta }}{{dT}}} \right|_{T = {T_U}}} = 0.11\frac{1}{K}$ . Daraus ergeben sich durch Einsetzen in Glg. 7.18 die Größen der kooperativen Einheit 83 (hohes Molekulargewicht) und 9.8 (niedriges Molekulargewicht). Für unendlich lange Ketten sollte die kooperative Einheit 100 betragen. Das hohe Molekulargewicht liefert im Rahmen der Messfehler diesen Wert, beim niedrigen Molekulargewicht ist die Kooperativität durch die endliche Länge der Kette limitiert.

Aufgabe 7.3:

(Programmieren)

Aufgabe 7.4:

Ausgehend von Gleichung 7.22 $LaTeX: \Theta \left( {{p_{ox}}} \right) = \frac{{{p_{ox}}}}{{{p_{1/2}} + {p_{ox}}}}$ erhalten wir $LaTeX: \Delta \Theta = \Theta \left( {{p_1} = 100{\rm{ Torr}}} \right) - \Theta \left( {{p_1} = 20{\rm{ Torr}}} \right) = \frac{{{p_{1/2}} \cdot 80{\rm{ Torr}}}}{{\left( {{p_{1/2}} + 100{\rm{ Torr}}} \right)\left( {{p_{1/2}} + 20{\rm{ Torr}}} \right)}}$ Ableitung von $LaTeX: \Delta \Theta$ nach $LaTeX: p_{\frac{1}{2}}$ und suchen der Nullstelle liefert als effizienteste Affinität des Proteins $LaTeX: p_{max}\approx 44.7$ Torr. Bei dieser Affinitätskonstante beträgt $LaTeX: \Delta \Theta$ rund 38.2 \

Aufgabe 7.5:

$LaTeX: r(t + \delta t) = r(t) + v(t)\delta t + \frac{1}{2}a(t)\delta {t^2}$ ist bereits die zeitliche Taylorreihe der Ortskoordinate bis einschließlich quadratischer Terme. In $LaTeX: v(t + \delta t) = v(t) + \frac{1}{2}\delta t\left( {a(t) + a(t + \delta t)} \right)$ kann der Term $LaTeX: \left( {a(t) + a(t + \delta t)} \right)$ folgendermaßen umgeformt werden:

$LaTeX: \begin{array}{l} </p> <pre>\left( {a(t) + a(t + \delta t)} \right) = a\left( {t + \frac{{\delta t}}{2} - \frac{{\delta t}}{2}} \right) + a\left( {t + \frac{{\delta t}}{2} + \frac{{\delta t}}{2}} \right) \\ \approx a\left( {t + \frac{{\delta t}}{2}} \right) - \frac{{\delta t}}{2}\dot a\left( {t + \frac{{\delta t}}{2}} \right) + \frac{1}{2}{\left( {\frac{{\delta t}}{2}} \right)^2}\ddot a\left( {t + \frac{{\delta t}}{2}} \right) + ... + a\left( {t + \frac{{\delta t}}{2}} \right) + \frac{{\delta t}}{2}\dot a\left( {t + \frac{{\delta t}}{2}} \right) + \frac{1}{2}{\left( {\frac{{\delta t}}{2}} \right)^2}\ddot a\left( {t + \frac{{\delta t}}{2}} \right) + ... \\ = 2a\left( {t + \frac{{\delta t}}{2}} \right) + {\left( {\frac{{\delta t}}{2}} \right)^2}\ddot a\left( {t + \frac{{\delta t}}{2}} \right) \\ \end{array}$

Ein Punkt über einem Symbol bedeutet einfach Zeitableitung, zwei Punkte doppelte Zeitableitung. Da diese Nomenklatur auf Newton zurückgeht, ist sie hier angebracht. Da der Beschleunigungsterm bereits mit $LaTeX: \delta t$ multipliziert wurde ist insgesamt der erste vernachlässigte Term von der Größenordnung $LaTeX: \delta t^3$ .

Aufgabe 7.6:

Die Schrittweite geht hier sehr empfindlich ein. Bei zu großer Schrittweite wird die Lösung insgesamt instabil. Je größer die Anfangsamplitude ist, desto mehr spielt die Nichtlinearität eine Rolle. Daher werden hier deutlich kleinere Schrittweiten nötig.

Aufgabe 7.7:

Populationsinhomogenität: Wir müssen hier zwei völlig getrennte kinetische Prozesse betrachten. Es ergibt sich im i-ten Puls folgende Kinetik:

$LaTeX: N\left( t \right) = {N_{0,i}}\exp \left( { - {k_a}t} \right)$

Es seien $LaTeX: N_0$ Moleküle in der Probe und so viele werden auch im ersten Blitz angeregt, zum Zeitpunkt des nächsten Blitzes sind noch

$LaTeX: N\left( t \right) = {N_0}\exp \left( { - {k_a}w} \right)$

nicht relaxiert und $LaTeX: {N_0} - {N_0}\exp \left( { - {k_a}w} \right)$ Moleküle, d.h. ein Bruchteil von $LaTeX: 1 - \exp \left( { - {k_a}w} \right)$ , können angeregt werden. Die Relaxation nach dem i-ten Puls beträgt also

$LaTeX: N\left( t \right) = {N_0}{\left[ {1 - \exp \left( { - {k_a}w} \right)} \right]^i}\exp \left( { - {k_a}t} \right)$

Die Population mit einer Rate, die wesentlich kleiner ist als die Wiederholungsrate der Blitze wird also mit jedem Puls deutlich schwächer, während eine Population mit einer Rate wesentlich größer als die Wiederholungsrate im Wesentlichen immer gleich beiträgt.

Falls jedes Molekül entweder mit Rate k1 oder k2 reagieren kann müssen wir noch eine Wahrscheinlichkeit p annehmen, mit der das Molekül mit der Rate k1 reagiert. Nach dem ersten Puls reagiert das System gemäß

$LaTeX: N\left( t \right) = {N_0}p\exp \left( { - {k_1}t} \right) + {N_0}\left( {1 - p} \right)\exp \left( { - {k_2}t} \right)$

Wir nehmen der Einfachheit halber an, dass $LaTeX: k_1t$ sehr viel größer als 1 sei, daher stehen beim nächsten Puls

$LaTeX: {N_0} - {N_0}\left( {1 - p} \right)\exp \left( { - {k_2}w} \right)$

Moleküle zur Absorption zur Verfügung. Bei jedem Blitz steht der gleiche Bruchteil an Molekülen vom vorherigen Blitz für die Relaxation zur Verfügung. Es ergibt sich also nach dem i-ten Blitz eine Relaxationskurve von $LaTeX: N\left( t \right) = {N_0}{q^i}\left[ {p\exp \left( { - {k_1}t} \right) + \left( {1 - p} \right)\exp \left( { - {k_2}t} \right)} \right]$ mit $LaTeX: q = 1 - \left( {1 - p} \right)\exp \left( { - {k_a}w} \right)$

Da der Faktor q deutlich kleiner als eins ist, wird die Relaxation von Blitz zu Blitz schwächer. Es werden mehr und mehr Moleküle in den langlebigen Zerfallskanal getrieben.

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