Lösungen Kapitel 3
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Aufgabe 3.1:
(Siehe 1.1.) Die Körpermasse skaliert mit der Größe L zur dritten Potenz, die Oberfläche mit der zweiten Potenz. Daher gilt für die Wärmeerzeugung im Körper und für den Wärmeverlust . Im Gleichgewicht sind beide Größen gleich. Daher gilt . Der Wärmeverlust pro Fläche ist für alle Tierarten gleich, da sie ähnliche Körpertemperaturen haben. Deswegen können wir die gesuchte Abhängigkeit des spezifischen Grundumsatzes berechnen: ; wir erwarten also für den gesamten Grundumsatz ein Skalengesetz .
Anmerkung: Experimentell wird ein größerer Exponent gefunden. Dies liegt daran, dass sich die Proportionen der Tiere mit der Größe ändern. Daher gilt die angenommene Skalierung des Wärmeverlusts mit der Masse nur in grober Näherung.
Aufgabe 3.2:
Die am System geleistete mechanische Arbeit wird aufgeteilt in die Volumenarbeit und in den Rest : \\ Somit ergibt sich:
Isotherm und isobar gilt:
Aufgabe 3.3:
Das Problem kann entlang jeder Raumrichtung als Teilchen in einem unendlich tiefen Potentialkasten beschrieben werden. Die Eigenzustände hierzu sind stehende Wellen mit Knoten an den Wänden.
\begin{figure}[H] \centering \includegraphics[width=0.80\textwidth]{03_3.png} \end{figure}
Sei die Breite des Kastens a, so gilt wobei die Wellenlänge der stehenden Welle und n die Quantenzahl des Zustands ist. Dies führt zu den erlaubten Wellenvektoren der stehenden Welle von . Die dazugehörigen Energien sind gegeben durch , wobei hier mit dem Plankschen Wirkungsquantum h gilt und m die Masse eines Atoms symbolisiert. Aus der Forderung, dass die Energie des Quantenzustands der mittleren thermischen Energie entsprechen soll, ergibt sich folgende Gleichung . Diese kann trivial nach n aufgelöst werden. Einsetzen der Naturkonstanten sowie des Molekulargewichts von Argon (39,95 g/mol) liefert .
Aufgabe 3.4:
Hier müssen wir vom dreidimensionalen Fall ausgehen, um die Zustandsdichte der Einatomzustände zu berechnen. Die Zustände mit Energie kleiner liegen im Impulsraum innerhalb einer Kugel mit Radius .
Wieder müssen die Eigenzustände ebene Wellen sein mit Knoten an der Wand des Kubus. Dies ergibt mit beliebigen ganzen Zahlen l, m und n. Keine der Zahlen darf 0 sein, aber dieser eine ausgeschlossene Zustand spielt hier keinerlei Rolle. Ein Volumen von im Impulsraum enthält also genau einen erlaubten Zustand. Somit kann die Zahl N0 der Zustände mit Energie kleiner angegeben werden zu:
Die Dichte der Zustände bei , g(), ist gegeben durch . Am Ende ergibt sich
Einsetzen der Energie von (mittlere thermische Energie eines Atoms in drei Dimensionen) und der Molekularmasse von Argon (39,95 g/mol), sowie der notwendigen Naturkonstanten liefert eine Zustandsdichte von .
Einem Temperaturintervall von entspricht ein Energieintervall von T. Die Zahl der Zustände ist einfach gegeben durch die Breite des Energieintervalls mal der Zustandsdichte. Einsetzen der entsprechenden Zahlen liefert Zustände für ein einzelnes Argonatom in diesem sehr kleinen Temperaturintervall.
Der 1 cm3 enthält bei Atmosphärendruck Atome. Zur Berechnung der Zustandszahl des Gesamtsystems in diesem Temperaturintervall müssten wir die Zahl der Zustände des einzelnen Atoms mit der Zahl der Atome potenzieren. Da die Zahl der Zustände schon sehr viel größer ist als die Zahl der Atome, können wir Mehrfachzählungen vernachlässigen. Es ergibt sich für den dekadischen Logarithmus der Zahl der Zustände des Gesamtsystems . Die Anzahl der Zustände des Gesamtsystems ist also gegeben durch eine Zahl mit Nullen.
Aufgabe 3.5:
Für diesen Beweis benutzen wir am Einfachsten die quasiklassische Näherung
Der Erwartungswert von ergibt sich zu
wegen der Beziehung zerfallen beide Integrale in Produkte aus jeweils einem Term der von xn unabhängig ist und einem der nur von xn abhängt. Die von xn unabhängigen Faktoren in Zähler und Nenner sind identisch, sodass sich ergibt:
Dies sind einfache Gaussche Integrale, aus denen sich sofort das Ergebnis ergibt.
Aufgabe 3.6:
Thermische Wellenlängen von bei T=273 K
Isothermen (bei )
Aufgabe 3.7:
Ausgehend von dem VdW Gesetz:
Werte:
Argon: a'=1.36 , b'=0.0322
Wasser: a'=5.54 , b'=0.0305
Isothermen bei hohen T und kleinen n ähnlich dem idealen Gas.
Aufgabe 3.8:
Einsetzen der Werte in Gleichung (3.43) liefert den gesuchten Druckunterschied von 415 kPa. Dies entspricht ungefähr dem vierfachen Atmosphärendruck! Gleichung (3.17) für den Laplacedruck liefert die gesuchte mechanische Oberflächenspannung von 0.62 . Größere mechanische Oberflächenspannungen führen zu sofortigem Zerplatzen der Membran.