Lösungen Kapitel 37
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Aufgabe 37.1:
Amplitudenverteilung der Beugung am Spalt.
Die Kenntnis der Amplitudenverteilung des Spaltes hilft bei der Lösung vieler, praktisch wichtiger Anwendungen, wie bei der Berechnung der Auflösung des Mikroskops. Der Spalt liege in der x, z-Ebene.
Ausgangspunkt Gleichung 37.1:
Die Spaltbreite sei . Daher ist für und für . Die Integration liefert:
Ein schematische Darstellung der Amplitudenverteilung zeigt folgende Skizze:
Die Nullstellen der Amplitudenverteilung sind bestimmt durch: wobei m ganze Zahlen sind. Als Halbwertsbreite des Beugungsbildes kann man die erste Nullstelle von definieren. Der zugehörige Wellenvektor ist . Die Breite der Amplitudenverteilung ist dann gleich der reziproken Spaltbreite.
Aufgabe 37.2:
Anwendung des Konvolutionstheorems
Aufgabe a: Die Dichteverteilung des eindimensionalen Gitters der Gitterkonstante a hat die Form: . Die Amplitudenverteilung hinter dem Gitter ist:
F(k) lässt sich als geometrische Reihe darstellen:
(1a)
Die Intensitätsverteilung wird schließlich:
(1b)
Der Zähler hat sehr viel Nullstellen bei den Werten . Die Intensitäten sind aber nur bei den Werten groß, da die Zähler und Nenner null sind. Es wird nach der Bernoulli-de'Hospital Regel:
und (2)
Aufgabe b: Hier benutzen wir eine interessante Erweiterung auf eine unendlich lange Anordnung von -Funktionen Gitter: Die Amplitudenverteilung wird wieder eine unendliche Anordnung von Deltafunktionen: , wie folgende Überlegung zeigt. Es wird
Die Fourierentwicklung der -Funktion ist eine Konstante, z.B. . Damit wird:
Wir betrachten zwei Beispiele.
1) Die Wirkung einer Blende der Breite d mit d >> a. Man kann die Dichteverteilung als Konvolution der endlichen Reihe von -Funktionen und der Spaltfunktion , aus der Aufgabe 37.1 darstellen. Es wird (s. Abb. 1 links). Nach dem berühmten Konvolutionstheorem der Fouriertransformation ist die Fouriertransformierte (FT) der Faltung gleich dem Produkt der FT der Einzelfunktionen. Man kann nun FT{} umformen indem man von folgender Eigenschaft der -Funktion Gebrauch macht:
und
Da die FT der -Funktion konstant ist, folgt .Damit erhält man Gleichung 1a. Die -Funktionen im Impulsraum werden verbreitert und die kleinen Seitenbänder werden modifiziert. Dies enspricht der Situation der Röntgenstreuung an sehr kleinen Kristallen.
2. Falls d<< a wird aus der Folge von Deltafunktionen eine unendliche Folge von Impulsen der Breite b. Man kann als Folge aller Konvolutionen der -Funktionen mit dem Impulse darstellen. Die Streufunktion F(k) ist wieder eine unendliche Folge von -Funktionen. Deren Amplituden sind aber durch die Fouriertransformation der Impulsfunktion moduliert.
Abb. 1b zeigt die Modulation der Amplitude der Reflexe. Dieser Fall entspricht in der Röntgen- und Neutronenbeugung der Berücksichtigung der Atomform-Faktoren.
Aufgabe 37.3:
Optische Transferfunktionen von Blenden und Aperturen
Wir betrachten die Frauenhofer-Beugung hinter einer kreisförmigen Lochblende mit dem Radius R. Die Durchlässigkeit des Schirms ist bestimmt durch die Funktion für und für . Man modifiziert Gl 37.1 durch Einführung von Zylinderkoordinaten :
(1)
Dabei ist das Skalarprodukt der Vektoren und . Man betrachtet in der Regel nur die Amplitudenverteilung in einiger Entfernung von der Blende da man dann nur das Fernfeld betrachten muss. Aufgrund der Zylindersymmetrie kann man über den Winkel integrieren. Das Integral über r führt zu Besselfunktionen erster Art:
und (2)
Dies ist die berühmte Gleichung des Airy Beugungsscheibchens für
Der Durchmesser des zentralen Beugungsscheibchens ist durch die erste Nullstelle der Funktion bestimmt. Diese beobachtet man unter dem Winkel .
Zur Berechnung des Beugungsscheibchens für den Grenzfall entwickeln wir nach Potenzen von x und dividieren durch x (mit ), um die Intensität nach Gl.2 zu berechnen:
I(x) hat in erster Näherung die Form einer Gaußfunktion.
Wir haben schon mehrfach von der Tatsache gebraucht gemacht, dass die Airyfunktion im Grenzfall die Form einer Gaußfunktion hat und gleich der Punktverteilungsfunktion punktförmiger Lichtquellen ist.
Das Prinzip von Babinet besagt: Eine Apertur (oder ein beliebiges geformtes Loch in einem Schirm) erzeugt dieselbe Beugungsfigur, wie eine Blende derselben Größe und Form. Man versteht das Prinzip, wenn man bedenkt, dass die Beugung durch ein Objekt allein durch den Dichteunterchied zwischen Objekt und Umgebung bestimmt ist.
Aufgabe 37.4:
Die Guinier-Gleichung als Methode zur Messung der Radien und Formen supramolekularer Komplexe.
Diese Aufgabe wird im Rahmen der Ergänzung über die Kleinwinkelstreuung in Appendix 37.A gelöst.
Aufgabe 37.5:
Das Rayleighkriterium zur Auflösung des Mikroskops
Berechnung über Beugungsscheibchen: Man kann einfach die Ergebnisse der Aufgaben 37.1 und 37.3 benutzen. In 37.3 haben wir die Breite des Beugungsscheibchens berechnet und angenommen, dass diese durch die erste Nullstelle der Funktion I(k) bestimmt ist (s. Abb.1). Diese beobachtet man unter dem Winkel . In der mikroskopischen Abbildung hat das Beugungsscheibchen den Radius . Nach der unteren Abbildung ist der minimale Abstand den zwei Objekt haben müssen, um getrennt beobachtet zu werden:
Aufgabe 37.6:
Warum Vögel und Flugzeugen fliegen können.
Für die Beantwortung der Frage erinnern wir und an zwei fundamentale Gesetze der Hydrodynamik: Das Bernoulli Gesetz und die Helmholtzsche Wirbelsätze.
1. Zu den Wirbelsätzen (in reibungsfreiem Medium): (i) Eine wirbelfrei Strömung bleibt es für alle Zeiten. (ii) Entsteht in einer Strömung an irgend einer Stelle ein Wirbel (z. B. am hinteren Rand der Flügel, s. Abb. 1) so bleibt er für alle Zeiten erhalten und bewegt sich mit der Strömung (so wie der Ablösewirbel an den Flügeln). (iii) Die Zirkulation einer Wirbelströmung bleibt erhalten. Der Grund für die Wirbelgesetze ist die Erhaltung des Drehimpulses.
(2) Bernouilli-Gesetz: Augrund der Energieerhaltung ist die Summe der potentiellen (dem Druck p) und der kinetischen Energiedichte () konstant:
(1)
Man nennt den statischen Druck und den Staudruck. Im Schwerefeld kommt auf der linken Seite noch der Ausdruck ( Dichte; h: Höhe, g: g-Faktor) hinzu.
Anwendung: Der dynamische Auftrieb fliegender und schwimmender Körper. Es gibt zwei Gründe für den Auftrieb der Flügel, falls diese gegenüber der Oberfläche um den Anstellwinkel geneigt sind (s. Abb.1). Der erste beruht auf dem tropfenförmigen Querschnitt. Dadurch wird die Strömungsgeschwindigkeit auf der Oberseite beschleunigt und auf der Unterseite verzögert (). Ist der Unterschied , so folgt aus Gl.1, dass die Auftriebskraft pro Fläche durch den Druckunterschied gegeben ist. Berücksichtigt man die gesamte Strömung und den Anstellwinkel des Flügels (s. Abb.1), so steigt die Auftriebskraft pro Fläche nach [1] mit dem Quadrat von U:
Der zweite Grund ist die Zirkularströmung um die Körper, die der Grundströmung überlagert ist (s. Abb.1). Sie ist die Folge der Wirbelsätze. Beim Anfahren löst sich vom Ende der Flügel ein Wirbel ab. Damit die gesamte Zirkulation konstant ist, bildet sich um den Flügel eine Zirkularströmung aus. Während der Anfahrwirbel am Ausgangspunkt zurück bleibt, bewegt sich mit dem Flugzeug oder Vogel mit, und trägt dauernd zum Auftrieb bei. Der Auftrieb ist durch die berühmte Gleichung von Kutta-Zhukovsky gegeben:
(2)
Die Zirkularströmung um den Flügel trägt nicht zum Strömungswiderstand bei. Am Ende der Flügel lösen sich jedoch ständig neue Wirbel ab und deren Erzeugung liefert einen wesentlichen Beitrag zum Widerstandsbeiwert (s. auch Aufgabe 25.3).
Die Wirbelsätze spielen für das Fliegen von Vögeln eine besonders wichtige Rolle, da diese häufig starten. Die Wirbel werden vorwiegend durch die Abwärtsbewegung der Flügel erzeugt. Noch raffinierter nutzen Insekten die Wirbelgesetze aus, indem sei die Flügel rotieren. Der interessierte Leser findet reichlich Literatur auf der Homepage von Z. Jane Wang: http://dragonfly.tam.cornell.edu.
Referenzen:
[2] Landau, L.D. und Lifshitz, E.M. 'Lehrbuch der theoretischen Physik' Band VI Hydrodynamik.
Vogel- und Insektenflug.
Dickinson, M. H. Lehmann, F.-O. . Sane, S. P, 'Wing Rotation and the Aerodynamic Basis of Insect Flight', Science 284,1954 (1999).
Z. Jane Wang, Dragonfly Flight, Physics Today, October (2008)
Aufgabe 37.7:
Über die Rolle der Reynoldszahl für Konstrukteure
Wie in Kapitel 37 gezeigt wurde, ist die dimensionslose Reynoldszahl Re gleich dem Verhältnis der Beschleunigungskraft (pro Fläche) zur dynamischen Scherspannung: , wobei L die Dimension des Objekts ist:
(1)
Die Beschleunigungskraft ist identisch mit dem dynamischen Druck der Bernoulligleichung (Aufgabe 37.6). Die in Gl. (1) benutzte Näherung wurde in der Aufgabe 11.2 begründet (allerdings für die mechanische Deformation).
Die Reynoldszahl wurde von Stokes 1851 eingeführt, während ihre Anwendung in der Technik erst durch O. Reynolds um etwa 1880 propagiert wurde. Sie spielt eine zentrale Rolle in den Ingenieurwissenschaften, bei der Übertragung der an Modellen erarbeiteten experimentellen und theoretischen Ergebnisse auf die Objekte in realer Größe. Außerdem charakterisiert sie den Übergang von der laminaren zur turbulenten Strömung, der oft bei einer kritischen Reynoldszahl einsetzt. Wenn man die aerodynamischen Eigenschaften eines Vogels mit dem eines Flugzeugs vergleichen möchte, so kann man im Windkanal ähnliche Strömungsmuster durch Erhöhung der Geschwindigkeit einstellen.
Die Reynoldszahl spielt besonders für die Eigenschaften der laminaren Grenzschicht und damit die Reibung eine wichtige Rolle (s. [1] §39), wie schon in Aufgabe 25. 3 gezeigt wurde. Sie bestimmt das Verhältnis der Geschwindigkeitskomponenten parallel (U) und senkrecht () zur Grenzschicht oder deren Dicke :
Referenz:
1 Landau, L.D. und Lifshitz, E.M., 'Lehrbuch der theoretischen Physik' Band VI Hydrodynamik.
Aufgabe 37.8:
Messung des Wassergehalts der Proteine.
Ein zentrales Problem bei der Messung von Proteinmassen mittels Ultrazentrifugen ist der, in der Regel unbekannte, natürliche Wassergehalt der Proteine. Man kann das Wasser durch Gefriertrocknen entfernen. Dabei wird in der Regel die Konformation der Proteine geändert oder sie werden völlig denaturiert. Durch Zugabe von Gefrierschutzmitteln (cryoprotectants), wie Sucrose, kann man die Denaturierung verhindern. Eine einfache Methode beruht auf der in der Aufgabe beschriebenen Volumometrie. Man gibt das getrocknente Protein (hier 1g der Dichte ) zu Wasser mit genau bekannter Dichte . Man erwartet eine Volumenzunahme von . Beobachtet wird aber nur , d.h. Wasser ist zwischen die Proteine eingedrungen, ohne dieses wesentlich aufzuquellen. Der Wassergehalt ist:
%
Referenz:
Allgemeine Literatur zum Wassergehalt von Proteinen:
Towns, JK. (1995). Moisture content in proteins: its effects and measurement J. of Chromatography A 705: 115-127.
Aufgabe 37.9:
Zur Trennung von Proteinen mittels statischer Zentrifugation.
Bei der Sedimentationsmethode beobachtet man (bei kleinen Drehzahlen) die Verteilung der Proteine im Schwerefeld. Aufgrund der Diffusion stellt sich nach Gl.37.13 eine Boltzmann-Verteilung der Dichte ein. Das Verhältnis der Teilchendichten in den Abständen und ist:
(1)
Berechnung von mit folgenden Daten: Winkelgeschwindigkeit (ca. 10.000 U/min). Hämoglobin Dichte . Molekulargewicht ; ; ; ; und und . Das Gewicht des Hb ist m=; . Daher wird und:
~ .
Das Ergebnis zeigt, dass die exponentielle Verteilung der Protein am Boden des Zentrifugenrörchens sehr scharf ist. Daher ist es unmöglich, Proteine ohne Dichtegradienten zu separieren
Aufgabe 37.10:
Die Schlierentechnik zum Nachweis der Sedimentation.
Zur Messung der Sedimentationsgeschwindigkeit der Teilchen während der Zentrifugation wird auch die Schlieren-Technik angewandt. Diese interessante Technik geht eigentlich auf Robert Hook zurück und wurde von A. Toepler zu einer Schlierenmikroskopie ausgebaut (1864). Sie spielt aber auch eine wichtige Rolle zur Visualisierung von Strömungen in der Hydrodynamik und Aerodynamik, wie die zwei Beispiele in Abb. 1b zeigen.
Bei der Anwendung in der Zentrifuge nutzt man die starke Abhängigkeit des Brechungsindex n(c) makromolekulare Lösungen von der Konzentration aus. In erster Näherung gilt:
Beim Durchtritt durch einen Gradienten des Brechungsindexes wird der Lichtstrahl wird in Richtung zur größeren Konzentration hin gebrochen. Das ungebrochene Licht wird durch die Blende im Fokus abgeblockt, wodurch ein helles Bild des Gradienten auf dunklem Hintergrund entsteht.
Referenz:
[1] Bergmann, Schäfer, Lehrbuch der Experimentalphysik - Band 3: Optik, de Gruyter - Berlin/New York, 10. Aufl. - 2004
Aufgabe 37.11:
Eigenschaften der Diffusionsgleichung :
Die Gaußfunktion in 1D:
Die Gaußfunktion in 3D:
Das mittlere Verschiebungsquadrat (= Varianz):
In 1D:
In 3D:
Aufgabe 37.12:
Scherinduzierte Aktivierung des vonWillibrandt-Fakors (vWF)
Der von Willibrandfaktor (vWF) spielt eine zentrale Rolle bei der Blutgerinnung (Hämostasie, engl. hemostasis) und bei der Wundheilung. Er wird von den Endothelzellen gebildet und schwimmt im Blutstrom mit. Es handelt sich um einen sehr großen supramolekularen Proteinkomplex, der aus mehreren Glykoproteinen besteht. Die Multimere können aus bis 80 Proteinen mit 250kDa Gewicht bestehen. Jedes dieser Bausteine enthält Bindungsstellen für verschiedene Bindungspartnern des Gewebes, (wie Kollagen, Fibronektin und Heparin) oder der Zellen (wie dem Integrin und dem Glykoprotein-Rezeptor Ib/IX der Blutplättchen). Dadurch bildet der vWF eine Brücke zwischen dem Gewebe und den Zellen und dient der Vernetzung der Blutplättchen. Im Ruhezustand besitzt der vWF eine globuläre Struktur (mit Durchmessern von 50nm). Um die Koagulation des Blutes zu vermeiden, sind die meisten Bindungsstellen im Innern verborgen (s. Abb. 1a). Wird der vWF jedoch an einer Stelle fixiert und einer hydrodynamischen Strömung ausgesetzt so wird es gestreckt. Viele Bindungsstellen werden exponiert, d.h. der Proteinkomplex wird aktiviert. Die Knäulbildung ist also eine Art Selbstbehinderung des Proteinkomplexes.
Man nimmt an, dass eine solche hydrodynamisch induzierte Aktivierung bei der Wundheilung eine wichtige Rolle spielt, und zwar auf folgende Weise. Wenn die Adern durch eine Verletzung geöffnet werden, so erhöht sich die Strömungsgeschwindigkeit in diesem Bereich des Blutes. Der globuläre vWF wird geöffnet und verbindet die Blutplättchen mit Kollagen und Fibronektin, die ein Netzwerk bilden und die Wunde schließen.
Das Experiment von M. Schneider et al. [1] liefert experimentelle Hinweise auf dieses Modell. Die vWF wurden auf dem Boden einer Mikrozelle fixiert, die mit Kollagen bedeckt wurde. Hydrodynamische Scherfelder wurden über oberflächenakustischen Wellen erzeugt. Da sich akustische Anregungen auf Oberflächen als tangentiale Wellen ausbreiten können, lassen sich damit starke hydrodynamische Flüsse an fest-flüssig-Grenzflächen aufbauen. Man benutzt dabei piezoelektrische Bauelement, die über aufgedampfte Mikroelektroden angeregt werden. Man kann andererseits die Mikroelektroden als Empfänger akustischer Signale einsetzten was zum Aufbau von Biosensoren benutzt wird. Man analysiert dabei die Modulation der Wellenausbreitung durch biofunktionale Schichten. Abb. 2b zeigt die mittlere Ausdehnung des vWF bei steigender Scherrate . Bei verlängert sich der Komplex und wird gestreckt. Gleichzeitig bilden sich durch den Kontakt mit Kollagen zweidimensionale Netzwerke aus. In der Regel sind die Scherraten in dünnen Blutgefäßen mittlerer Größe () von der Größenordnung . Im Bereich der durch Verletzung entstehenden Öffnungen der Blutgefässe kann die Scherrate aber sehr viel größer werden.
Es gibt eine Reihe theoretischer Modelle der scherinduzierten Streckung von Makromolekülen, auf die der interessierte Leser hingewiesen werden soll. Von Brochard et al wurde ein Modell auf der Basis des de-Gennes Blob-Modells flexibler Polymere entwickelt [3]. Netz et al [4] simulierte die Streckung des vWF durch Computersimulationen. Ein biologisch besonders relevantes Experiment stammt von Perkins et al.[5]. DNA wurde mit einem Ende an einer Kraftsonde fixiert und (ohne Berührung mit einer Oberfläche) im Scherfeld gestreckt. Die Deformation zeigt Abb. 1.c.
Referenzen:
1 Ohmori, K., (1982) 'Electron microscopy of human factor VIII/von Willebrand glycoproteinglycoprotein' effect of reducing agents oln structure and function. J. Cell Biology. 95:632-640.
2 Schneider, SW., et al (2007), 'Shear-induced unfolding triggers adhesion of von Willebrand factor fibers.' PNAS 104: 7899-7903.
3 Brochard, F., et al. (1994) 'Unwinding of Polymer Chains under Forces or Flows.' Europhys. Letters 26: 511-516
4 Alexander-Katz A., et al (2006) Phys Rev Lett. 97: 138101.
5 Perkins, TT. et al. (2995) Stretching oif single tethered polymer in uniform flow. Science 268: 83-86.